Question

（1）讨论函数（x∈[e^﹣1，e]）的图象与直线y=k的交点个数．
（2）求证：对任意的n∈N*，不等式总成立．

Answer 1

（1）解：由题意得：．
令f'（x）=0，得x=．
当时，f'（x）＞0，故函数f（x）在上递增；
当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上递减．
又因为f（e^﹣1）=﹣e²，，，
所以当或k＜﹣e²时，没有交点；
当或时，有唯一的交点；
当时，有两个交点．
（2）证明：由（1）知函数f（x）在上递增，在上递减，
故f（x）在（0，+∞）上的最大值为．即对x∈（0，+∞）均有，
故．
当n=1时，结论显然成立；
当n≥2时，有=≤＜==．
综上可知，对任意的n∈N*，不等式成立．