Question

设实数a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，3a]，都有y∈[a，a²]满足方程log_ax+log_ay=c，这时，实数a的取值的集合为

{3}

．

Answer 1

分析：由题意可得x＞0，y＞0，y=

ac

x

，作出其图象如图所示，进而得出

a2= ac a a= ac 3a

及a＞1，c只有一个值．解出即可．

解答：解：∵log_ax+log_ay=c，∴x＞0，y＞0，y=

ac

x

．（a＞1），作出其函数图象：
由图象可以看出：函数y=

ac

x

在区间[a，3a]上单调递减，
∴必有

a2= ac a a= ac 3a

及a＞1，c只有一个值．解得c=3，a=3．适合题意．
∴实数a的取值的集合为{3}．

点评：由题意确定函数的单调性和画出其图象是解题的关键．