题目内容
已知数列{an}的首项a1=t＞0，an+1=
，n=1，2，…
（1）若t=
，求证{
-1}是等比数列并求出{an}的通项公式；
（2）若an+1＞an对一切n∈N*都成立，求t的取值范围．
| 3an |
| 2an+1 |
（1）若t=
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| an |
（2）若an+1＞an对一切n∈N*都成立，求t的取值范围．
分析：（1）根据条件取倒数，再作变形，即可证得数列{
-1}是首项为
，公比为
的等比数列，从而可求数列{
-1}的通项公式，即可求{an}的通项公式；
（2）由a1＞0，an+1=
知an＞0，故an+1＞an得
＜
，根据数列{
-1}的通项公式，可得不等式，从而可求t的取值范围．
| 1 |
| an |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| an |
（2）由a1＞0，an+1=
| 3an |
| 2an+1 |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
解答：（1）证明：由题意知an＞0，
∵an+1=
，∴
=
，∴
=
+
，
∴
-1=
(
-1)，
∵
-1=
（4分）
∴数列{
-1}是首项为
，公比为
的等比数列；（5分）
∴
-1=(
-1)(
)n-1=
，∴an=
（8分）
（2）解：由（1）知
-1=
(
-1)，
∴
-1=(
-1)(
)n-1（10分）
由a1＞0，an+1=
知an＞0，故an+1＞an得
＜
（11分）
即(
-1)(
)n+1＜(
-1)(
)n-1+1
∴
-1＞0，又t＞0，则0＜t＜1（14分）
∵an+1=
| 3an |
| 2an+1 |
| 1 |
| an+1 |
| 2an+1 |
| 3an |
| 1 |
| an |
| 1 |
| 3an |
| 2 |
| 3 |
∴
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| an |
∵
| 1 |
| a1 |
| 2 |
| 3 |
∴数列{
| 1 |
| an |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴
| 1 |
| an |
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3n |
| 3n |
| 3n+2 |
（2）解：由（1）知
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| an |
∴
| 1 |
| an |
| 1 |
| t |
| 1 |
| 3 |
由a1＞0，an+1=
| 3an |
| 2an+1 |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
即(
| 1 |
| t |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| t |
| 1 |
| 3 |
∴
| 1 |
| t |
点评：本题以数列的递推式为载体，考查构造法证明等比数列，考查数列的通项，考查不等式知识，解题的关键是取倒数，构造新数列．
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