Question

如下图所示，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y²=2x于M（x₁,y₁）、N（x₂,y₂）两点.

（1）写出直线l的方程；

（2）求x₁x₂与y₁y₂的值；

（3）求证：OM⊥ON.

Answer 1

解：（1）直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0),①

(2)由①及y²=2x消去y得k²x²-2(2k²+1)x+4k²=0.②

点M、N的横坐标x₁与x₂是②的两个根，由根与系数的关系得x₁x₂==4.由y₁²=2x₁,y₂²=2x₂，得(y₁y₂)²=4x₁x₂=4×4=16，注意到y₁y₂＜0，所以y₁y₂=-4.

(3)证明：设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂，则k₁=,k₂=,相乘得k₁k₂= =-1,所以OM⊥ON.