Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是圆内接四边形，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）设线段的中点为，线段的中点为，且在线段上运动，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接，交于点，连接，通过证明、证得平面，由此证得.证得，从而证得平面，进而证得平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，设，通过直线的方向向量和平面平面而的法向量求得直线与平面所成角的正弦值

（1）证明：如图，连接，交于点，连接，

∵，，，∴，

易得，∴，∴.

又，，平面，

∴平面，又平面，∴.

又底面是圆内接四边形，∴，

在中，由，，可得，，

∴，，易得，∴，

即.又平面，，

∴平面，又平面，∴平面平面.

（2）解：点在线段上.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，

设，可得，

设直线与平面所成的角为，则，

∵，∴当时，取得最大值.

故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.