题目内容

在如图所示的几何体中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°， $数学公式$ ，且AA₁=AB，D₁E⊥平面D₁AC，AA₁⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求二面角D₁-AC-E的大小；
（Ⅱ）在D₁E上是否存在一点P，使得A₁P∥平面EAC，若存在，求 $数学公式$ 的值，若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）设AC交BD于O，建立如图所示的坐标系，

设AB=2，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D₁（0，1，2）
设E（0，-1，t），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵D₁E⊥平面D₁AC，∴ $\text{[math]}$ ，∴-2-2（2-t）=0，∴t=3，∴E（0，-1，3），
∴ $\text{[math]}$
设平面EAC的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z），则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
令z=1，可得 $\text{[math]}$ =（0，3，1），
∵平面FAC的法向量为 $\text{[math]}$
∴cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴二面角D₁-AC-E的平面角为45°；
（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ =λ（ $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ =（0，- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ，1- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∵A₁P∥平面EAC，∴ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ =0
∴λ= $\text{[math]}$
∴存在一点P，使得A₁P∥平面EAC，此时 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）设AC交BD于O，建立坐标系，求得E的坐标，求得平面EAC、平面FAC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角D₁-AC-E的大小；
（Ⅱ）利用A₁P∥平面EAC，可得 $\text{[math]}$ ⊥平面EAC的法向量，从而可得结论．
点评：本题考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．