Question

设函数，曲线过点，且在点处的切线斜率为2.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的极值点；

 （Ⅲ）对定义域内任意一个，不等式是否恒成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）只有极大值点，且极大值点为；（Ⅲ）见解析。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵

∴...................1分

∵在点处的切线斜率为2

∴即......................2分

故..............................3分

（Ⅱ）∵（）

得................4分

即

由可得，

当时，...................5分

当时，............................6分

列表可得：

	+	0	—
	↗		↙

 

 

 

 

 

 

 

故只有极大值点，且极大值点为..........................8分

（Ⅲ）令，得（）............9分

∴

即..................10分

由可得，

当时，

当时，.........................11分

列表可得：

	+	0	—
	↗	0	↙

 

 

 

 

 

 

 

由表可知的最大值为

即恒成立

故恒成立.......................12分

考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值。

点评：极值点的导数为零，但导数为零的点不一定是极值点。因此在求极值点的时候仅仅由=0得到的点不一定是极值点，而应该加以验证。