Question

正方体AC₁中，E、F分别是AB、BB₁的中点，则A₁E与C₁F所成的角的余弦值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  5

• C．

  2

  2

• D．

  21

  5

Answer 1

分析：先建立空间直角坐标系以D为坐标原点，DC为x轴，DA为y轴，DD₁为z轴，规定棱长为1，再求出A₁E与C₁F直线所在的向量坐标，然后根据向量的夹角公式求出夹角的余弦值即可．

解答：解：以DC为x轴，DA为y轴，DD₁为z轴；建立空间直角坐标系，
以D为坐标原点，棱长为1．
可得A（0，1，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），
C₁（1，0，1）．A₁（0，1，1）．
∴E（

1

2

，1，0），F（1，1，

1

2

），
可得

A1E

=（

1

2

，0，-1），

C1F

=（0，1，-

1

2

）．
∴

A1E

•

C1F

=0+0+

1

2

=

1

2

，∴|

A1E

|=

5

2

，|

C1F

|=

5

2

．
设A₁E与C₁F所成的角为θ，
则cosθ=

A1E •  C1F

| A1E |•| C1F |

=

1 2

5 2 × 5 2

=

2

5

，
故选B．

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，以及空间向量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于
中档题．