Question

12．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=10，a₂为整数，且s₄是s_n的最大值．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用已知条件求出数列的公差，然后求{a_n}的通项公式；
（II）化简数列的表达式，利用裂项消项法求解数列的和即可．

解答 （每小题（6分），共12分）
解：（I）由a₁=10，a₂为整数知，等差数列{a_n}的公差d为整数．
又S_n≤S₄，故a₄≥0，a₅≤0，（2分）
于是10+3d≥0，10+4d≤0，解得$-\frac{10}{3}≤d≤-\frac{5}{2}$，因此d=-3，（4分）
故数列{a_n}的通项公式为a_n=13-3n． （6分）
（II）∵${b_n}=\frac{1}{{（{13-3n}）（{10-3n}）}}=\frac{1}{3}（{\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{13-3n}}）$，（8分）
于是T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{7}-\frac{1}{10}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{12-3n}）]$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{10-3n}-\frac{1}{10}）$
=$\frac{n}{10（10-3n）}$．（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．