Question

【题目】设为奇函数，a为常数.

（1）求a的值；

（2）判断函数在时单调性并证明；

（3）若对于区间上的每一个x的值，不等式恒成立，求m取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）函数在上为增函数，证明见解析（3）

【解析】

(1)根据f(x)为奇函数,可得f(x)+f(-x)=0,然后化简求出a的值;

(2)直接利用作差法证明对且,恒成立即可;

(3)不等式恒成立,只需,求出在[3,4]上的最小值即可得到m的取值范围.

解:(1)因为f(x)是奇函数,所以,

即对定义域内的任意x恒成立,

化简得,所以.

当时,真数,不符合题意,

当时,为奇函数,

所以a=-1;

(2)由(1)得.设,则

.

下面判断与1的大小.

因为,且,

所以,即.

又,所以,所以.

又,所以,即,

所以函数在上为增函数;

(3)由已知,得.

由(2)知在上递增,又在上递增,

所以在上递增.

所以,

所以.