Question

中心是原点O，它的虚轴长为，相应于焦点F(c，0)(c＞0)的准线l与x轴交于点A，且OF＝3OA．过点F的直线与双曲线交于P、Q两点．

(1)求双曲线的方程及离心率；

(2)若＝0，求直线PQ的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意，设曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0) 　　由已知解得a＝，c＝3，所以双曲线的方程这＝1，离心率e＝； 　　(2)由(1)知A(1，0)，F(3，0)，当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x＝3，此时，≠0，应舍去． 　　当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为 　　y＝k(x－3)， 　　由方程组＝1y＝k(x－3)得，(k2－2)x2－6k2x＋9k2＋6＝0，由一过点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则k2－2≠0，即k≠±， 　　由于Δ＝36k4－4(k2－2)(9k2＋6)＝48(k2＋1)＞0恒成立，所以k≠±(*)． 　　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 　　由直线PQ的方程得y1＝k(x1－3)，y2＝k(x2－3)，于是y1y2＝k2(x1－3)(x2－3)＝k2[x1x2－3(x1＋x2)＋9]　　(3) 　　由得，(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝0，即x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝0　　(4) 　　由(1)、(2)、(3)、(4)得＋1＋k2()＝0，整理得k2＝，k＝±满足(*)， 　　∴直线PQ的方程为x－－3＝0或x＋－3＝0． 　　分析：对于第一问，由题意先判定所求的双曲线方程标准形式，结合题意确定双曲线方程；对于第二问，涉及直线与双曲线的交点问题，在考虑过程中应当全面地考虑，相应的直线的可能情形，将相应的直线方程假设出来，从而由直线和双曲线的方程所组成的方程组消去一个未知数，转化为根与系数间的关系问题，再结合已知条件将问题解决．