Question

【题目】已知函数=

（I）求函数的单调区间；

（II）设函数=（x+1）lnx－x+1，证明：当x>0且x≠1时，x－1与同号。

Answer 1

【答案】（I）的增区间是（1，+），减区间是（0，1） （II）见证明

【解析】

（I）先求得函数的定义域，然后对函数求导，利用导数求得函数的单调区间.（II）先求得函数的定义域，对函数求导，根据（I）的结论判断出函数的单调区间，根据，由此证得和时，与同号.

解：（I）函数的定义域是（0，+），

又=，令=0，得x=1，

当x变化时，与的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+）
	－	0	+
	↘		↗

所以，的增区间是（1，+），减区间是（0，1）

（II）函数的定义域是（0，+），又=lnx+=lnx+=，

由（I）可知，==1，所以，当x>0时，>0，

所以，在区间（0，+）上单调递增。

因为，

所以当x>1时，>且x－1>0；

当0<x<1时，<且x－1<0，

所以，当x>0且x≠1时，x－1与同号。