Question

5．已知数列{a_n}前n项和S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1），求a_n．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1化简、整理可知$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$+2，进而数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，再次利用a_n=S_n-S_n-1计算即得结论．

解答 解：∵na_n=n（S_n-S_n-1）=S_n+2n（n-1），
∴（n-1）S_n=nS_n-1+2n（n-1），
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$+2，
又∵$\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=n（2n-1），
∴a_n=S_n-S_n-1
=n（2n-1）-（n-1）（2n-3）
=4n-3（n≥2），
又∵a₁=1满足上式，
∴a_n=4n-3．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．