题目内容

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx．
（1）若f（x）无极值点，但其导函数f'（x）有零点，求实数a的值；
（2）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围并证明 $数学公式$ ＜ $数学公式$ ．

解；（1）f′（x）= $\text{[math]}$ ，f′（x）有零点而无极值点，表明该零点左右导数同号，∴a≠0，2ax²-2x+1=0的△=0，∴ $\text{[math]}$
（2）若f（x）有两个极值点，则f′（x）=0有两个正根，∴a≠0
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则t∈（1，+∞），设 $\text{[math]}$ g′（t）= $\text{[math]}$ ，t∈（1，+∞）时g′（t）＜0，
所以 $\text{[math]}$ 在（1，+∞）上单调递减，所以g（t）＜g（1）= $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求函数f（x）=ax²-2x+lnx的导函数f′（x），f′（x）有零点而无极值点，表明该零点左右导数同号，即2ax²-2x+1=0的△=0，解方程即可
（2）若f（x）有两个极值点，则f′（x）=0有两个正根，结合二次函数y=2ax²-2x+1的图象，列不等式即可得a的取值范围；∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则t∈（1，+∞），构造新函数 $\text{[math]}$ t∈（1，+∞），利用导数发现其为减函数，所以g（t）＜g（1）= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ＜- $\text{[math]}$
点评：本题考查了导数在解决函数极值和证明不等式中的应用，解题时要认真求导，防止错到起点，还要有数形结合的思想，提高解题速度．