Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中∥，是的中点，和交于点，且平面．

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）由已知证明四边形是平行四边形，进一步证得四边形为正方形，得，求解三角形证明，由线面垂直的判定可得平面，得到，再由直线与平面垂直的判定可得平面，从而得到平面平面；

（2）由于两两垂直，故以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式可求得结果.

（1）因为是的中点，所以四边形是平行四边形，又因为，所以四边形是正方形，所以；

又因为，所以，

又因为，所以，故

因为平面平面，所以；

又因为平面

所以平面

因为平面，所以平面平面．

（2）由（1）知两两垂直，故以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，

由（1）知四棱锥为正四棱锥，故，所以为等腰直角三角形，故，则，

所以

设平面的法向量为，由，得

，即，令，则，

设直线与平面所成角为，

那么，

因为，所以，

所以直线与平面所成角．