Question

已知z为虚数，且|z|=

5

，z²+2

.

z

为实数，若w=z+ai（i为虚数单位，a∈R）且z虚部为正数，0≤a≤1，求|w|的取值范围．

Answer 1

分析：设z=x+yi（x、y∈R，y≠0），由条件|z|=

5

，z²+2

.

z

为实数求出复数z，在代入w=z+ai中，表示出|w|，即可求范围．

解答：解：设z=x+yi（x、y∈R，y≠0）
由z2+2

.

z

=(x2+y2+2x)+(2xy-2y)i
∵z2+2

.

z

∈R，∴2xy-2y=0，
∵y≠0，∴x=1
又|z|=

5

，即x²+y²=5，∴y=±2，∴z=1±2i．
∵z虚部为正数，∴y=2，∴z=1+2i，
∴w=1+2i+ai
∴|w|=

1+(a+2)2

，
a∈[0，1]
∴|w|∈[

5

，

10

]

点评：本题考查复数的概念、运算及复数的模等知识，设z=x+yi（x、y∈R）是复数问题中最常用的思路．