Question

已知z为虚数，且|z|=，z²+2为实数，若w=z+ai（i为虚数单位，a∈R）且z虚部为正数，0≤a≤1，求|w|的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：设z=x+yi（x、y∈R，y≠0），由条件|z|=，z²+2为实数求出复数z，在代入w=z+ai中，表示出|w|，即可求范围．
解答：解：设z=x+yi（x、y∈R，y≠0）
由
∵∈R，∴2xy-2y=0，
∵y≠0，∴x=1
又|z|=，即x²+y²=5，∴y=±2，∴z=1±2i．
∵z虚部为正数，∴y=2，∴z=1+2i，
∴w=1+2i+ai
∴|w|=，
a∈[0，1]
∴|w|∈[，]
点评：本题考查复数的概念、运算及复数的模等知识，设z=x+yi（x、y∈R）是复数问题中最常用的思路．