Question

已知

m

=（cosx，1），

n

=（2sinx，1），设f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，已知A为锐角，f（

A

2

）=

4

3

，BC=4，AB=3，求sinB的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量积表示出f（x），然后根据周期的公式得出答案．
（2）首先求出sinA进而判断A是锐角得出cosA的值，然后根据正弦定理求出sinC，进而根据同角三角函数的基本关系求出cosC，再由两角和与差的正弦公式求出sinB=sin（A+C）．

解答：解：（1）∵f（x）=

m

•

n

=2cosxsinx+1=sin2x+1
∴T=

2π

2

=π
∴f（x）的最小正周期是π
（2）∵f（

A

2

）=sinA+1=

4

3

∴sinA=

1

3

∵A为锐角
∴cosA=

1-sin2A

=

2 2

3

在△ABC中，由正弦定理：

BC

sinA

=

AB

sinC

∴sinC=

AB•sinA

BC

=

3× 1 3

4

=

1

4

∵BC＞AB
∴A＞C
∴C也锐角  
∴cosC=

1-sin2C

=

15

4

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

1

3

×

15

4

+

2 2

3

×

1

4

15 +2 2

12

点评：本题考查了正弦定理、三角函数周期性的求法以及向量积，解题过程中要注意判断三角函数的符号，属于中档题．