Question

已知

m

=（cosx，2sinx），

n

=（2cosx，-sinx），f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（-

2009

3

π）的值；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求g（x）=

1

2

f（x）+sin2x的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

m

•

n

=2cos²x-2sin²x=2cos2x，知f（-

2009

3

π）=2cos[2×（-

2009

3

π）]，由此能求出结果．
（2）由g（x）=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）和x∈[0，

π

2

]，知2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，由此能求出g（x）=

1

2

f（x）+sin2x的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵

m

=（cosx，2sinx），

n

=（2cosx，-sinx），f（x）=

m

•

n

，
∴f（x）=

m

•

n

=2cos²x-2sin²x=2cos2x，
∴f（-

2009

3

π）=2cos[2×（-

2009

3

π）]
=2cos

4018

3

π=2cos（1338π+π+

π

3

）
=2cos（π+

π

3

）=-2cos

π

3

=-1．
（2）由（1）得
g（x）=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）．
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴当x=

π

8

时，g（x）_max=

2

；
当x=

π

2

时，g（x）_min=-1．

点评：本题考查平面向量的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换和三角函数最值的灵活运用．