Question

【题目】设函数 ， ，对任意， ，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，问题转化为，可求正数的取值范围．

详解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 ，

∴x1∈（0，+∞）时，函数f（）有最小值2e，

∵g（x）=，∴=，

当x＜1时， ＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，

当x＞1时， ＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，

∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，

则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，

∵不等式恒成立且k＞0，

∴，∴k≥1.

故答案为：k≥1