Question

【题目】已知函数，且

（1）求的解析式；

（2）若存在，使得成立，求的取值范围；

（3）证明函数的图象在图象的下方.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】分析：（1）直接根据求出a的值即得的解析式.(2)分离参数得到恒成立,再利用导数求的最大值得解.(3)转化为恒成立，即，再转化为转化为最小值大于零.

详解：（1）易知，所以，又

∴.

∴.

（2）若对任意的，都有，

即恒成立，即： 恒成立.

令，则，

当时， ，所以单调递增；

当时， ，所以单调递减；

∴时， 有最大值，

∴，即的取值范围为.

（3）要证明函数的图象在图象的下方，

即证： 恒成立，

即： .

由（2）可得： ，所以，

要证明，只要证明，即证：

令中，则，

当时， ，所以单调递增，

∴

即，

所以，从而得到，

所以函数的图象在图象的下方.