题目内容

设函数f（x）=（x+a）lnx﹣x+a．
（Ⅰ）设g（x）=f'（x），求g（x）函数的单调区间；
（Ⅱ）若，试研究函数f（x）=（x+a）lnx﹣x+a的零点个数．

解：（Ⅰ）g（x）的定义域是（0，+∞）
∵g（x）=f'（x）=+lnx，
∴g'（x）=﹣，
（1）当a≤0时，g'（x）＞0，
∵g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）单调区间是（0，+∞）
（2）当a＞0时，g'（x）＞0，
∵g（x）在（a，+∞）上单调递增，再由g'（x）＜0得g（x）在（0，a）上单调递减．
g（x）的单调区间是（0，a）与（a，+∞）
（Ⅱ）由题（Ⅰ）知，g（x）在x=a时取到最小值，且为g（a）=+lna=1+lna．
∵a≥，
∴lna≥﹣1，
∴g（a）≥0。
∴f'（x）≥g（a）≥0．f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（e）=（e+a）lne﹣e+a=2a＞0，＜0，∴内有零点．
故函数f（x）=（x+a）lnx﹣x+a的零点个数为1．

练习册系列答案
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设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；
（3）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．
设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．
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（3）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．