Question

已知函数，.

（1）求函数的最小值；

（2）若，证明：当时，.

 

Answer 1

（1）h(0)＝0；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力，考查学生的函数思想.第一问，先得到表达式，对求导，利用“单调递增；单调递减”解不等式求函数的单调区间，利用函数的单调性确定最小值所在的位置；第二问，先将和代入到所求的式子中，得到①式，再利用第一问的结论，即，即得到，通过且得，在上式中两边同乘得到②式，若成立则所求证的表达式成立，所以构造函数φ(t)＝(1－t)k－1＋kt，证明即可.

（1）h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x，h?(x)＝ex－1．

当x∈(－∞，0)时，h?(x)＜0，h(x)单调递减；

当x∈(0，＋∞)时，h?(x)＞0，h(x)单调递增．

当x＝0时，h(x)取最小值h(0)＝0． 4分

（2）即． ①

由（1）知，，即，

又，则．

所以． ② 7分

设φ(t)＝(1－t)k－1＋kt，t∈[0，1]．

由k＞1知，当t∈(0，1)时，φ?(t)＝－k(1－t)k－1＋k＝k[1－(1－t)k]＞0，

φ(t)在[0，1]单调递增，当t∈(0，1)时，φ(t)＞φ(0)＝0．

因为，所以，

因此不等式②成立，从而不等式①成立． 12分

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质.