Question

【题目】已知函数的周期为，图象的一个对称中心为.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．

（1）求函数与的解析式；

（2）（理）求证：存在，使得，，能按照某种顺序成等差数列．

（3）（文）定义：当函数取得最值时，函数图像上对应的点称为函数的最值点，如果函数的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆的内部或圆周上，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）

【解析】

（1）先根据周期得再根据对称中心得，最后根据图象变换规律得结果；

（2）先确定大小关系，再根据等差中项性质得方程，最后利用零点存在定理证明方程有解；

（3）先求函数最值点坐标，再确定与原点距离最近的最大值和最小值点坐标，代入解不等式得结果.

解：(1)、由函数的周期为，，得,

又曲线的一个对称中心为，，

故，得，所以

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以

(2)、（理）当时，，，

所以

问题转化为方程在内是否有解．

设，

，，

且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在零点

（3）（文）函数当时取得最大值或最小值，当，即与原点距离最近的最大值和最小值点分别是点和，于是有，所以的取值范围是