Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点，若△BDF为等边三角形，△ABD的面积为6，则p的值为________，圆F的方程为________．

Answer 1

3    
分析：由题意可得 p=BD，半径为AF=BD=BF，根据△ABD的面积为6=• 求得 p的值，由此可得焦点F（，0），
半径AF=BD=2，由此求得圆的方程．
解答：∵△BDF为等边三角形，∴p=BD，∴BD=．
由抛物线的定义可得，点A到准线l的距离h等于圆的半径AF=BF=BD．
∵△ABD的面积为6=•BD•h=•，∴p=3．
故焦点F（，0），半径AF=BD=2，故圆的方程为 ，
故答案为 3，．
点评：本题主要考查抛物线的定义、圆的标准方程以及三角形的面积，属于中档题．