题目内容

已知数列{a_n}满足S_n+S_n-1=ta_n²（t＞0，n≥2），且a₁=0，n≥2时，a_n＞0．其中S_n是数列a_n的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（III）若对于n≥2，n∈N*，不等式 $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ＜2恒成立，求t的取值范围．

解：（I）依题意， $\text{[math]}$ ，
（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²）（n≥3）．
由已知a_n+a_n-1≠0，故a_n-a_n-1=1（n≥3），
由a₁=0，S₂+S₁=ta₂²，得a₂=ta₂²，
∴a₂=0（舍）或a₂= $\text{[math]}$ ，
即数列{a_n}从第二项开始是首项为 $\text{[math]}$ ，公差为1的等差数列．
所以a_n= $\text{[math]}$ （n≥2），又当n=1时，a₁= $\text{[math]}$ =0，
所以a_n= $\text{[math]}$ （n∈N^﹡）．
（II）设T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
=t²（1- $\text{[math]}$ ）
要使T_n＜2，对于n≥2，n∈N^*恒成立，只要T_n=t²（1- $\text{[math]}$ ）＜t²≤2成立，所以0＜t≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）充分利用相邻两项之间的关系，利用作差法即可获得数列特点．结合等差数列的特点根据分类讨论即可获得问题的解答；
（2）根据第（1）问题结论利用裂项的方法即可求的不等式左边当n≥2时的前n项和，进而问题转化为t²（1- $\text{[math]}$ ）＜2对于n≥2，n∈N^*恒成立，再结合放缩法即可获得问题的解答．
点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了通项与前n项和的关系、等差数列的知识、分类讨论的思想以及恒成立的思想和问题转化的能力．值得同学们体会反思．