题目内容
【题目】已知椭圆
，上顶点为
，焦点为
，点
是椭圆
上异于点
的不同的两点，且满足直线
与直线
斜率之积为
.
（1）若
为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求
面积的最大值；
（2）试判断直线
是否过定点；若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
.
【解析】试题分析：（1）设
，由
即可得解；
（2）由题意， 
，直线
的斜率不为0，设直线
的方程为： 
， 
， 
，由直线与椭圆联立得
，由直线
与直线
斜率之积为
，利用坐标表示得
，解得
或
，进而可得解.
试题解析：
（1）设
，则
.
∴
面积的最大值为
.
（2）由题意， 
，直线
的斜率不为0，设直线
的方程为： 
，
设
， 
，由
，得
①
， 
②
∵直线
与直线
斜率之积为
∴
， 
将②式代入，化简得
，解得
或
（若设直线
的斜截式方程，此处可直接求出直线
的纵截距为2或
）
当
时，直线
的方程为： 
，过定点
，不符合题意；
当
时，直线
的方程为： 
，过定点
，将
代入①式，
解得
∴直线
过定点
.
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