Question

（2013•威海二模）某单位在“五四青年节”举行“绿色环保杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，先胜3局者将赢得这次比赛，比赛结束．假设选手乙每局获胜的概率为

1

3

，且各局比赛胜负互不影响，已知甲先胜一局．
（Ⅰ）求比赛进行5局结束且乙胜的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第二局开始到比赛结束时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）比赛进行5局结束且乙胜，其最后一局肯定是乙队胜，前三局乙胜了其中两局，根据相互独立事件的概率公式求出乙队获得这次比赛胜利的概率；
（II）ξ的取值可能为2，3，4，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．

解答：解：（I）比赛进行5局结束且乙胜，其最后一局肯定是乙队胜，前三局乙胜了其中两局．
∴比赛进行5局结束且乙胜的概率为P=C

2 3

(

1

3

)2×

2

3

×

1

3

=

2

27

；
（II）ξ的取值可能为2，3，4
P（ξ=2）=（

2

3

）²=

4

9

，
P（ξ=3）=C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

2

3

+（

1

3

）³=

1

3

，
P（ξ=4）=C

1 3

×

2

3

×（

1

3

）²×

2

3

+C

2 3

（

1

3

）²×

2

3

×

1

3

=

2

9

．
则ξ的分布列为

ξ	2	3	4
P	4 9	1 3	2 9

∴E（ξ）=2×

4

9

+3×

1

3

+4×

2

9

=

25

9

．

点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．