题目内容

已知直角坐标系中三点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），且 $数学公式$ ，求sin2α的值．

解：∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
∴ $\text{[math]}$ =（ cosα-3，sinα）， $\text{[math]}$ =（cosα，sinα-3），
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（ cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）
=（ cosα-3）cosα+sinα（ sinα-3）=-1，
∴cos²α+sin²α-3 cosα-3 sinα=-1
即sinα+cosα= $\text{[math]}$ ，∴（sinα+cosα）²=（ $\text{[math]}$ ）²
cos²α+sin²α+2cosα•sinα= $\text{[math]}$ ，∴sin2α=- $\text{[math]}$ ．
分析：根据题意和坐标运算求出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的坐标，再由数量积的坐标运算，代入 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-1列出方程，利用平方关系求出sinα+cosα的值，两边平方后由二倍角的正弦公式求出．
点评：本题是有关向量和三角函数的综合题，也是高考的常考题型，利用向量的坐标运算列出方程，再利用三角变换的公式进行化简求值．