Question

（不等式选讲）已知半圆的直径AB=2R，P是弧AB上一点，则2|PA|+3|PB|的最大值是

 

．

Answer 1

分析：由直径所对的圆周角为直角得到∠P=90°，可得出|PA|=|AB|cosA，|PB|=|AB|sinA，代入所求式子中，变形后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可求出所求式子的最大值．

解答：解：∵AB为半圆的直径，
∴∠P=90°，
∴|PA|=|AB|cosA，|PB|=|AB|sinA，
2|PA|+3|PB|=|AB|（2cosA+3sinA）=2

13

R（

2

13

cosA+

3

13

sinA）（令sinθ=

2

13

，cosθ=

3

13

），
=2

13

R（sinθcosA+cosθsinA）=2

13

Rsin（θ+A）≤2

13

R，
则2|PA|+3|PB|的最大值是2

13

R．
故答案为：2

13

R

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及圆周角定理，熟练掌握公式是解本题的关键．