Question

4．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项之积为T_n，若T_n=2${\;}^{{n^2}+n}}$，则$\frac{{{a_n}+8}}{2^n}$的最小值为（　　）

• A． 7
• B． 6
• C． $\frac{17}{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 利用递推关系可得：${a}_{n}={4}^{n}$．于是$\frac{{{a_n}+8}}{2^n}$=$\frac{{4}^{n}+8}{{2}^{n}}$=${2}^{n}+\frac{8}{{2}^{n}}$，令f（x）=x+$\frac{8}{x}$（x≥2），利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：∵T_n=2${\;}^{{n^2}+n}}$=a₁a₂•…•a_n，
∴n=1时，a₁=2²=4．
n≥2时，T_n-1=a₁a_2•…•a_n-1=${2}^{（n-1）^{2}+（n-1）}$，
可得：a_n=${2}^{{n}^{2}+n-[（n-1）^{2}+（n-1）]}$=2²ⁿ=4ⁿ，n=1时也成立．
∴${a}_{n}={4}^{n}$．
则$\frac{{{a_n}+8}}{2^n}$=$\frac{{4}^{n}+8}{{2}^{n}}$=${2}^{n}+\frac{8}{{2}^{n}}$，
令f（x）=x+$\frac{8}{x}$（x≥2），f′（x）=1-$\frac{8}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-8}{{x}^{2}}$，
当x≥2$\sqrt{2}$时，函数f（x）单调递增，
f（2）=6，f（4）=6，
∴$\frac{{{a_n}+8}}{2^n}$的最小值为6．
故选：B．

点评 本题考查了递推关系、利用导数研究函数的单调性、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．