Question

设函数f(x)=

sinx

2+cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的x≥0，都有f(x)≤

1

3

x．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的符号求出函数的单调区间，使导数大于0的区间就是函数的增区间，使导数小于0的区间就是函数的减区间．
（Ⅱ）令F(x)=f(x)-

1

3

x，利用导数F'（x）≤0，可得因而F（x）在[0，+∞）上递减，
对于?x≥0，都有F（x）≤F（0）=0，不等式得到证明．

解答：解：（1）由已知得，f′(x)=

2cosx+1

(2+cosx)2

（2分）
令f'（x）＞0，得2cosx+1＞0，即cosx＞-

1

2

，
解得x∈(-

2π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ)（4分）
令f'（x）＜0，得2cosx+1＜0，即cosx＜-

1

2

，
解得x∈(

2π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ)（6分）
故单增区间为(-

2π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ)，
单减区间为(

2π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ)．（k∈Z）
（2）令F(x)=f(x)-

1

3

x，
则F(x)=

sinx

2+cosx

-

1

3

xF′(x)=

2cosx+1

(2+cosx)2

-

1

3

=

-(cosx-1)2

(2+cosx)2

，（8分）
故对于?x≥0，都有F'（x）≤0因而F（x）在[0，+∞）上递减，（10分）
对于?x≥0，都有F（x）≤F（0）=0
因此对于?x≥0，都有f(x)≤

1

3

x（12分）

点评：本题考查利用导数来研究函数的单调性和单调区间，体现了等价转化的数学思想．