Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）求函数的极值；

（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）．

【解析】

(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;

(2)构造新函数，利用导数研究函数的单调性并结合零点存在性定理求解.

(1)由题可得函数的定义域为，，

令，可得；令，可得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值．

（2）即，即，

因为当时，关于的不等式恒成立，

所以当时，．

令，，则，

设，易知函数在上单调递增，

又，，

所以存在，使得，即，

所以当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

由可得，

所以，，，

由（1）知，函数在在上单调递增，所以，，

所以，所以，

故实数的取值范围为．