题目内容
用平面向量的方法证明：三角形的三条中线交于一点．
分析：在△ABC中，设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，BE与AD的交点为G，证明
=
，
=
，即可得到结论．
| BG |
| 2 |
| 3 |
| BE |
| CF |
| 3 |
| 2 |
| CG |
解答：证明：在△ABC中，设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，BE与AD的交点为G，
设
=
，
=
，则
=
-
，
，
不共线，
=
-
=
-
，
设
=λ
，则
=
-
=λ
-
=（
-1）
+
∵
，
共线，∴
=
，得λ=
∴
=
-
=
-
∴
=
-
=
（
-
）=
∴CG与CF共线，G在CF上
∴三条中线交与一点．
设
| BA |
| e1 |
| BC |
| e2 |
| CA |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| AD |
| BD |
| BA |
| 1 |
| 2 |
| e2 |
| e1 |
设
| BG |
| BE |
| AG |
| BG |
| BA |
| BE |
| e1 |
| λ |
| 2 |
| e1 |
| λ |
| 2 |
| e2 |
∵
| AG |
| AD |
| ||
| -1 |
| ||
|
| 2 |
| 3 |
∴
| CG |
| BG |
| BC |
| 1 |
| 3 |
| e1 |
| 2 |
| 3 |
| e2 |
∴
| CF |
| BF |
| BC |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| e1 |
| 2 |
| 3 |
| e2 |
| 3 |
| 2 |
| CG |
∴CG与CF共线，G在CF上
∴三条中线交与一点．
点评：本题考查向量在几何中的运用，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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