Question

已知抛物线关于x轴对称，它的顶点是坐标原点，点P（2，4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线上的三点．
（Ⅰ）求该抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线PA与PB的倾斜角互补，求线段AB中点的轨迹方程；
（Ⅲ）若AB⊥PA，求点B的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．
（II）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB，则可分别表示k_PA和k_PB，根据倾斜角互补可知k_PA=-k_PB，
设AB的中点坐标为（x，y），则 y==-4，x==，使用基本不等式求得x＞2，得到AB中点
的轨迹方程为  y=-4 （ x＞2 ）．
（III）由题意得 A（，y₁）、B（，y₂），故k_AP ==，由于AB⊥AP，∴k_AB =-（）．
又 K_AB==，化简可得 y₁²+（y₂+4）y₁+4y₂+64=0．由△≥0，解得y₂≤-12或y₂≥20，
从而得到点B的纵坐标的取值范围．
解答：解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y²=2px，
∵点P（2，4）在抛物线上∴4²=2p×2，得p=4，
故所求抛物线的方程是y²=8x．
（II）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB
则 ，，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k_PA=-k_PB．
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线上，得y₁²=8x₁ （1），y₂²=8x₂ （2），
∴，∴y₁+4=-（y₂+4），∴y₁+y₂ =-8．
设AB的中点坐标为（x，y），则 y==-4，x=== 
=． 由题意知，y₁＜0，y₂＜0，
（-y₁）+（-y₂）=8＞2，∴y₁y₂＜16，∴＞=2，即 x＞2，
故线段AB中点的轨迹方程为  y=-4 （ x＞2 ）．
（III）由题意得 A（，y₁）、B（，y₂），故k_AP ==，
由于AB⊥AP，∴k_AB =-（）．又 K_AB==，
∴y₁²+（y₂+4）y₁+4y₂+64=0．
由△≥0，解得y₂≤-12或y₂≥20，故点B的纵坐标的取值范围是 （-∞，12]∪[20，+∞）．
点评：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．常需借助韦达定理和判别式来解决问题．