Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）P（2，3），Q（2．-3）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ的斜率是否为定值，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程，利用离心率为，短轴长为4，求出几何量，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程代入椭圆方程，确定x₁+x₂，x₁-x₂，即可求得斜率．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0）．
由已知b=2，离心率e==，a²=b²+c²，得a=4，
所以，椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0
设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，
则PA的直线方程为y-3=k（x-2）代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0
∴
同理
∴x₁+x₂=，x₁-x₂=
∴
∴直线AB的斜率为定值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．