Question

（本小题满分18分）已知函数，

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；

(Ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在处取得极小值1；（Ⅱ）时，在上单调递减，在上单调递增；  时，函数在上单调递增。

(Ⅲ) 或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）的定义域为，

当时，，

		1
	—	0	+
		极小

 

所以在处取得极小值1.

（Ⅱ），

    

①当时，即时，在上，在上，

所以在上单调递减，在上单调递增；  

②当，即时，在上，

所以函数在上单调递增.       

（III）在上存在一点，使得成立，即 在上存在一点，使得，

即函数在上的最小值小于零.

由（Ⅱ）可知

①当，即时，在上单调递减，

所以的最小值为，由可得，

因为，所以；

②当，即时， 在上单调递增，

所以的最小值为，由可得；

③当，即时， 可得的最小值为，

因为，所以

故   

此时，不成立.   

综上讨论可得所求的取值范围是：或.

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。

点评：①极值点的导数为0，但导数为0的点不定是极值点。②利用导数研究函数的单调性时，一定要先求函数的定义域。③注意恒成立问题与存在性问题的区别。