Question

（本小题满分18分）如图，将圆分成个扇形区域，用3种不同颜色给每一个扇形区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为。求

（Ⅰ）；

（Ⅱ）与的关系式；

（Ⅲ）数列的通项公式，并证明。

Answer 1

解析：（Ⅰ） 当时，不同的染色方法种数 ，……………………1分

当时，不同的染色方法种数 ，……………………………2分

当时，不同的染色方法种数 ，……………………………3分

当时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形

∴不同的染色方法种数 。…………………4分

（Ⅱ）依次对扇形区域染色，不同的染色方法种数为，其中扇形区域1与不同色的有种，扇形区域1与同色的有种

∴…………………………………………………8分

（Ⅲ）∵ 

∴

………………

将上述个等式两边分别乘以，再相加，得

，

∴，…………………………………………………13分

从而。………………………………………14分

（Ⅲ）证明：当时，

当时， ，

当时，

 ，

故…………………………………………………18分w.