Question

已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F，B，C三点作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当m+n≤0时，椭圆的离心率的取值范围．
（Ⅱ）直线AB能否和圆P相切？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圆心是两条弦的中垂线的交点，可求圆心坐标，注意a²-b²=c²．
（2）假设相切，运用两点表示的斜率公式求出k_AB^和k_PB，则k_AB•k_PB=-1，由此推出c²=2ac，这与0＜c＜a矛盾．
解答：解：（Ⅰ）由题意FC，BC的中垂线方程分别为，
于是圆心坐标为．（4分）
m+n=，即ab-bc+b²-ac≤0，
即（a+b）（b-c）≤0，所以b≤c，于是b²≤c²＞即a²≤2c²，
所以，又0＜e＜1，∴．（7分）
（Ⅱ）假设相切，则k_AB•k_PB=-1，（9分）
∵，（11分）
∴a²-c²+ac=a²-ac，即c²=2ac，∵c＞0，∴c=2a这与0＜c＜a矛盾．
故直线AB不能与圆P相切．（13分）
点评：本题主要考查直线与圆、椭圆的位置关系以及分析问题与解决问题的能力．