Question

已知函数f（x）=
（1）当x≥1时，证明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
（2）若数列{a_n}满足a₁=，a_n+1=f（a_n），b_n=，n∈N⁺，证明数列{b_n}是等比数列，并求出数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），证明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜

Answer 1

【答案】分析：（1）因为x≥1，求出f（x）-x得到其小于等于0，得到lnx大于等于0，所以当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立；
（2）把a_n代入到f（x）中化简得到a_n与b_n的通项公式即可；
（3）根据a_n与b_n的通项公式和c_n=a_n•a_n+1•b_n+1得到c_n的通项公式，化简得到c₁+c₂+c₃+…c_n＜即可．
解答：解：（1）∵x≥1得f（x）-x=-x==≤0，
而x≥1时，lnx≥0
∵x≥1时，f（x）-x≤lnx
∴当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立
（2）a₁=，a_n+1=f（a_n），b_n=-1，n∈N⁺∴a_n+1=得=+
∴a₁=，a_n+1=f（a_n），b_n=-1，n∈N⁺
∴====（n∈N⁺）
又b₁=-1=∴{b_n}是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为b_n=
又a₁=，a_n+1=f（a_n），b_n=-1，n∈N⁺
∴a_n===（n∈N⁺）
（3）c_n=a_n•a_n+1•b_n+1=××=×=-
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=（-）+（-）+…+（-）=-＜
点评：考查学生掌握数列求和及数列递推式的能力，理解函数恒成立时取条件的能力．