Question

【题目】已知函数．

（1）求曲线与直线垂直的切线方程；

（2）求的单调递减区间；

（3）若存在，使函数成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）减区间为和；（3）.

【解析】

试题分析：（1）求出导数，令，求出切点坐标，可得切线方程；（2）令解出的单调递减区间；（3）由已知得，分离常数，存在使函数成立，使即可，对进行求导，利用导数判断函数的单调性得到其最小值.

试题解析：（1）由已知，·······2分

设切点坐标为，令，解得，所以，因此切线方程为，即；·······4分

（2）函数的定义域为，

，由，解得或，

所以函数的单调递减区间为和．·······8分

（3）因为，

由已知，若存在使函数成立，

则只需满足当时，即可．·······9分

又，

则，·······10分

①若，则在上恒成立，

所以在上单调递增，

，

∴，又∵，∴．·······13分

②若，则在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最小值是，·······15分

又∵，而，所以一定满足条件，

综上所述，的取值范围是．·······16分