Question

椭圆

x2

a2

+

y2

4

=1(a＞2)的右焦点为F，直线x=m与椭圆相交于 A、B两点，直线x=m不过右焦点F时，△FAB的周长的最大值是16，则该椭圆的离心率是（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  1

  2

• C．

  2

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：设椭圆的左焦点为E，作出图形，利用椭圆的定义可求得△FAB的周长l=AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a=16，从而可求得a，继而可得其离心率．

解答：解：设椭圆的左焦点为E，
△FAB的周长l=AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE，
∵AE+BE≥AB，
∴AB-AE-BE≤0，当且仅当AB过E时取到“=”，
∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a（当且仅当AB过E时取到“=”），
即直线x=m过椭圆左焦点E时△FAB的周长最大．
∵△FAB的周长的最大值是16，
∴4a=16，
∴a=4，a²=16，又b²=4，
∴c²=a²-b²=16-4=12，
该椭圆的离心率e=

c

a

=

2 3

4

=

3

2

．
故选A．

点评：本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的定义的应用，考查不等式的作用，求得a=4是关键，属于中档题．