Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

4

=1（a＞0）上两点A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），x轴上两点M（1，0），N（-1，0）．
（1）若tan∠ANM=-2，tan∠AMN=

1

2

，求该椭圆的方程；
（2）若

MA

=-2

MB

，且0＜x₁＜x₂，求椭圆的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据tan∠ANM=-2，tan∠AMN=

1

2

，得直线AM和AN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点A的坐标，根据A在椭圆上，求得a，进而求得椭圆方程可得．
（2）利用向量的坐标公式得出

MA

，

MB

的坐标，结合条件

MA

=-2

MB

得出坐标间的关系，又根据A，B两点的坐标适合椭圆方程得出x₁-2x₂=-a²，从而建立建立a的不等关系，求得a的取值范围，即可解得椭圆的离心率e的取值范围．

解答：解：（1）由题意得，直线AN的斜率k₁=tan∠ANM=-2，AM的斜率k₂=-tan∠AMN=-

1

2

，
所以直线AN的方程为y=-2（x+1），同理直线AM的方程为：y=-

1

2

（x-1），
联立两直线方程，解得点A的坐标为（-

5

3

，

4

3

），
因为A在椭圆上，所以

5 2

9a 2

+

4 2

9×4

=1，a²=5，
∴该椭圆的方程

x 2

5

+

y2

4

=1；
（2）

MA

=（x₁-1，y₁），

MB

=（x₂-1，y₂），
∵若

MA

=-2

MB

，∴

x1-1=-2(x2-1) y1=-2y2

即

x1+2x2=3 y1=-2y2

．
又∵

x1 2

a 2

+

y1 2

4

=1①；

x 22

a 2

+

y2 2

4

=1②；
∴①-②×4得：（x₁+2x₂）（x₁-2x₂）=-3a²，
∴x₁-2x₂=-a²，从而x₁=

1

2

（3-a²），x₂=

1

4

（3+a²），
∵0＜x₁＜x₂，∴

1

2

（3-a²）＞0，

1

2

（3-a²）＜

1

4

（3+a²），
解得：1＜a＜

3

，
e²=

4-a 2

4

∈（

1

4

，

3

4

），
∴e∈（

1

2

，

3

2

），
∴椭圆的离心率e的取值范围（

1

2

，

3

2

）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．