题目内容

设a∈R，f（x）= $数学公式$ 为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=2log₂（ $数学公式$ ），若不等式f^-1（x）≤g（x）在区间[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]上恒成立，求实数k的取值范围．

解：（1）f（x）= $\text{[math]}$ =a- $\text{[math]}$
由f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴2a=a+a^-2
∴a=1，
∴f（x）= $\text{[math]}$
（2）由y=f（x）= $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴f^-1（x）= $\text{[math]}$ ，
不等式f^-1（x）≤g（x）在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上恒成立，即 $\text{[math]}$ ≤2log₂（ $\text{[math]}$ ）恒成立，
即 $\text{[math]}$ 恒成立
即k²≤1-x²在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上恒成立，
∵y=1-x²在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上单调递减
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）f（x）= $\text{[math]}$ =a- $\text{[math]}$ ，由f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），代入化简可求实数a的值；
（2）由y=f（x）= $\text{[math]}$ 可得f^-1（x）= $\text{[math]}$ ，不等式f^-1（x）≤g（x）在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上恒成立，即 $\text{[math]}$ ≤2log₂（ $\text{[math]}$ ）恒成立，即k²≤1-x²在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上恒成立，求出右边函数的最小值，即可求实数k的取值范围．
点评：本题考查函数的奇偶性，考查反函数，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，确定函数的最值，属于中档题．