题目内容
（2012•许昌三模）已知点A（-2，0），B（2，0），直线PA与直线PB斜率之积为-
，记点p的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设M，N是曲线C上任意两点，且|
-
|=|
+
|，问直线MN是否恒过某定点？若是，请求出定点坐标；否则，请说明理由．
| 3 |
| 4 |
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设M，N是曲线C上任意两点，且|
| AM |
| AN |
| AM |
| AN |
分析：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），可表示出直线PA，PB的斜率，根据题意直线PA、PB的斜率之积为-
，建立等式求得x和y的关系式，即点P的轨迹方程．
（Ⅱ）若|
-
|=|
+
|，则
⊥
，从而可得
×
=-1，分直线MN斜率存在与不存在讨论，即可求得直线MN过定点（-
，0）．
| 3 |
| 4 |
（Ⅱ）若|
| AM |
| AN |
| AM |
| AN |
| AM |
| AN |
| y1 |
| x1+2 |
| -y1 |
| x1-2 |
| 2 |
| 7 |
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），则由直线PA与直线PB斜率之积为-
得
×
=-
（x≠±2），
整理得曲线C的方程为
+
=1（x≠±2）．----（4分）
（Ⅱ）若|
-
|=|
+
|，则
⊥
．由题意知A（-2，0）．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
若直线MN斜率不存在，则N（x1，-y1），由
⊥
得
×
=-1，
又
+
=1，解得直线MN方程为x=-
．----（6分）
若直线MN斜率存在，设方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，消去y可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴x1+x2=
，x1x2=
．----（8分）
由
⊥
得
×
=-1，整理得（k2+1）x1x2+（km+2）（x1+x2）+m2+4=0
∴（k2+1）×
+（km+2）×
+m2+4=0．
解得m=2k或m=
k．----（10分）
若m=2k，此时直线过定点（-2，0）不合题意舍去．
故m=
k，即直线MN过定点（-
，0）．
斜率不存在时依然满足．----（12分）
| 3 |
| 4 |
| y |
| x+2 |
| y |
| x-2 |
| 3 |
| 4 |
整理得曲线C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）若|
| AM |
| AN |
| AM |
| AN |
| AM |
| AN |
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
若直线MN斜率不存在，则N（x1，-y1），由
| AM |
| AN |
| y1 |
| x1+2 |
| -y1 |
| x1+2 |
又
| x12 |
| 4 |
| y12 |
| 3 |
| 2 |
| 7 |
若直线MN斜率存在，设方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，消去y可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．
∴x1+x2=
| -8km |
| 4k2+3 |
| 4m2-12 |
| 4k2+3 |
由
| AM |
| AN |
| y1 |
| x1+2 |
| -y1 |
| x1-2 |
∴（k2+1）×
| 4m2-12 |
| 4k2+3 |
| -8km |
| 4k2+3 |
解得m=2k或m=
| 2 |
| 7 |
若m=2k，此时直线过定点（-2，0）不合题意舍去．
故m=
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| 7 |
斜率不存在时依然满足．----（12分）
点评：本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，联立方程，利用韦达定理解题是关键．
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