Question

（2012•许昌三模）如图，在RT△ABC中，D是斜边AB上一点，且AC=AD，记∠BCD=β，∠ABC=α．
（Ⅰ）求sinα-cos2β的值；
（Ⅱ）若BC=

3

CD，求∠CAB的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直角三角形的两锐角互余及外角性质用α，β表示出∠A和∠ACD，再由AC=AD，利用等边对等角得到一对角相等，进而得出α与β的关系式，用β表示出α，代入所求式子中，利用诱导公式变形，计算后即可得到值；
（Ⅱ）由BC=

3

CD，利用正弦定理列出关系式，利用诱导公式变形后，将第一问得出的α+β=

π

2

-β，α=

π

2

-2β代入，利用诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosβ的方程，求出方程的解得到cosβ的值，由α和β都为直角三角形的锐角，利用特殊角的三角函数值求出β的度数，即可得到∠CAB的度数．

解答：解：（Ⅰ）由题意知：∠A=

π

2

-α，∠ACD=

π

2

-β，
又AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴α+β=

π

2

-β，即α=

π

2

-2β，
则sinα-cos2β=sin（

π

2

-2β）-cos2β=cos2β-cos2β=0；
（Ⅱ）由BC=

3

CD及正弦定理知：

BC

CD

=

sin∠BDC

sinα

=

3

，
∴sin∠BDC=sin[π-（α+β）]=sin（α+β）=

3

sinα，
由（Ⅰ）知α+2β=

π

2

，即α+β=

π

2

-β，α=

π

2

-2β，
∴sin（

π

2

-β）=

3

sin（

π

2

-2β），即cosβ=

3

cos2β=

3

（2cos²β-1），
整理得：2

3

cos²β-cosβ-

3

=0，
解得：cosβ=

3

2

或cosβ=-

3

3

（舍去），
∵α，β∈（0，

π

2

），
∴β=

π

6

，
则∠CAB=

π

3

．

点评：此题考查了正弦定理，诱导公式，二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．