Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B的横坐标为4．

（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：HGHE为定值，并求出定值．

Answer 1

【答案】（1）y2=4x

（2），证明见解析

【解析】

（1）由AB的斜率为，可得，解得p=2即可；（2）设点，可得，，即可得HGHE=．

（1）由题意得：，
因为点B的横坐标为4，且B在x轴的上方，所以，
因为AB的斜率为，
所以，整理得：，
即，得p=2，
抛物线C的方程为：y2=4x．
（2）由（1）得：B（4，4），F（1，0），准线方程x=1，
直线l的方程：，
由，解得或x=4，于是得．
设点，又题意n≠1且n≠-4，
所以直线PA：，令x=1，得，
即，
同理可得：，
HGHE=．