题目内容

若椭圆 $数学公式$ （a＞b＞1）内有圆x²+y²=1，该圆的切线与椭圆交于A，B两点，且满足 $数学公式$ （其中O为坐标原点），则9a²+16b²的最小值是________．

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分析：设切线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合 $\text{[math]}$ ，可得a²（m²-b²k²-b²）+m²b²=0，利用y=kx+m是单位圆的切线，可得m²=k²+1，从而可得a²+b²=a²b²，可得a²＞2，b²= $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，由此可求9a²+16b²的最小值．
解答：设切线方程为y=kx+m，代入椭圆方程得关于x的一元二次方程（b²+a²k²）x²-2a²kmx+a²m²-a²b²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
∴（k²+1）a²（m²-b²）-2k²m²a²+m2（a²k²+b²）=0
∴a²（m²-b²k²-b²）+m²b²=0（*）
因为y=kx+m是单位圆的切线，所以 $\text{[math]}$ ，即m²=k²+1
代入（*）式子，得到a²（1-b²）m²+m²b²=0，所以a²+b²=a²b²
由于a＞b，所以a²b²=a²+b²＞2b²，∴a²＞2
∵b²= $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$
代入得9a²+16b²=9a²+ $\text{[math]}$ +16=9（a²-1）+ $\text{[math]}$ +25≥49
当且仅当a²-1= $\text{[math]}$ 时取到最小值
故答案为：49
点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查圆的切线，考查韦达定理的运用，考查基本不等式求最值，利用韦达定理是关键．