Question

已知两点A(,0)、B(-,0),动点P在y轴上的射影为Q,,

(1)求动点P的轨迹E的方程;

(2)设直线m过点A,斜率为k,当0＜k＜1时,曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为,试求k的值及此时点C的坐标.

Answer 1

解：(1)设动点P的坐标为(x,y),则点Q(0,y),=(-x,0),=(2-x,-y),

=(--x,-y),=x²-2+y²,

因为,所以x²-2+y²=2x²,

即动点P的轨迹方程为y²-x²=2.

(2)设直线m:y=k(x-)(0＜k＜1),

依题意,点C在与直线m平行且与m之间的距离为的直线上,

设此直线为m₁:y=kx+b,由即b²+2kb=2.                            ①

把y=kx+b代入y²-x²=2,整理,得(k²-1)x²+2kbx+(b²-2)=0.

则Δ=4k²b²-4(k²-1)(b²-2)=0,即

b²+2k²=2.                                                                                                         ②

由①②,得k=,b=,

此时,由方程组