Question

(2005广东，19)设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)=f(2＋x)，f(7－x)=f(7＋x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0；

(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)=0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)若f(x)是偶函数，则f(－x)=f(2－(x＋2))=f(2＋(2＋x))=f(4＋x)=f(x)，于是有f(7)=f(3)=0，这与f(x)在[0，7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾!故f(x)不是偶函数． 若f(x)是奇函数，则f(0)=f(－0)=－f(0)，有f(0)=0，这与在[0，7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾!∴f(x)不是奇函数．故f(x)既不是偶函数，也不是奇函数． (2)∵f(x)=f[2＋(x－2)]=f[2－(x－2)]=f(4－x)， f(x)=f[7＋(x－7)]=f[7－(x－7)]=f(14－x)． ∴f(14－x)=f(4－x)，即f[10＋(4－x)]=f(4－x)． ∴f(x＋10)=f(x)．∴f(x)=f(x＋10n)，nZ． 因此，f(1)=f(1＋10n)=0，f(3)=f(3＋10n)=0． 即x=10n＋1和x=10n＋3(nZ)均是f(x)=0的根． 由－2005≤10n＋1≤2005和－2005≤10n＋3≤2005及nZ可得：n=0，±1，……，±200． 故方程f(x)=0在[－2005，2005]上的根至少有802个． 如果存在c(7，10)使f(c)=0，则f(14－c)=f(c)=0． 但7＞14－c≥4，这与f(x)在[0，7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾!故f(x)=0在[0，10]上只有两个根，即x=1和x=3． 设d是f(x)=0在区间[－2005，2005]上任意一个根， 则存在整数n使d=10n＋a，a[0，10]， 且f(d)=f(10n＋a)=f(a)=0． 由上可知a=1或或d=10n＋3． 所以f(x)=0在[－2005，2005]上有且仅有802个根． 解法二：(1)∵f(x)在[0，7]上只有f(1)=f(3)=0． ∴f(0)≠0，即f(x)不是奇函数． ∵f(2－x)=f(2＋x)，f(x)关于x=2对称． ∴f(－1)=f(5)． 而f(5)≠0f(1)≠f(－1)，即f(x)不是偶函数． 故f(x)是非奇非偶函数． (2)由f(x)=f[2－(2－x)]=f[2＋(2－x)]=f(4－x)， 有f(x)=f[7－(3＋x)]=f[7＋(3＋x)]=f(x＋10)． 即f(x)是周期为10的周期函数． ∴f(7－x)=f(7＋x)，∴f(x)关于x=7对称． ∵f(x)在[0，7]上仅有f(1)=f(3)=0， ∴f(x)在(7，10)上没有根． 即f(x)在[0，10]上仅x=1和x=3两个根． 于是f(x)在[0，2000]内仅有400个根，在[2000，2005]上仅有2根，在[－2000，0]内仅有400个根，而在[－2005，－2000]上没有根． 故f(x)在[－2005，2005]内仅有802个根．

提示：

剖析：本小题主要考查函数的奇偶性、方程的根、解不等式等基础知识，以及函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，考查思维能力、运算能力．